Parábola II

Parábola II

La forma ordinaria de la parábola:

I   La parábola se abre hacia arriba: (x – h)² = 4p(y – k)

II  La parábola se abre hacia la derecha: (y – k)² = 4p(x – h)

III La parábola se abre hacia abajo; (x – h)² = - 4p(y – k)

IV La parábola se abre hacia la izquierda (y – k)² = - 4p(x – h)

Descripción de los parámetros:

Coordenadas del vértice;  V(h,k)

Distancia focal = p

Lado recto = 4p

Ejemplo:

La ecuación y = x² + 4x + 3 representa la parábola de la gráfica.

Obtener los parámetros siguientes:

Ordenada al origen, Raíces de la ecuación, Vértice, Foco, Lado recto y Directriz

De la ecuación original los términos A, B  y C son:

A = 1; B = 4 y el término independiente es C = 3

Las raíces pueden obtenerse así:

x² + 4x + 3

(x         + 3) è x = -3

(x         + 1) è x = - 1

El vértice:

V(- B/(2A), C – B2/(4A))

V( - 4/(2(1)), 3 – 4²/(4(1)))

V(-2, -1)

Para realizar parte de nuestro propósito es conveniente transformar la forma de la ecuación y = x² + 4x + 3 a la forma I

Completando el trinomio cuadrado perfecto:

     x² + 4x + 3 = y

La mitad del término de en medio (4x) es 2x

El cuadrado del 2 es 2² = 4

Transformando la ecuación a la forma I:

x² + 4x + 3 + 1 = y + 1

x² + 4x + 4 = y + 1

(x  + 2)² = y + 1

Para completar la igualación con la Forma I

(x  + 2)² = 4p(y + 1) è V(h,k) = V(- 2, - 1)

Como 4p = 1 &  p = ¼

Ordenada al origen                OO(0,3)

Raíces de la ecuación             R₁(-3,0) & R₂(-1,0)

Vértice                                               V(-2,-1) que en este caso coincide con el mínimo.

Foco                                       F(-2, - 3/4)

Lado recto                              4p = 1

Directriz                                 y = - 1 1/4

Ejemplo 2:

Caso inverso.

Dada la ecuación;

(x - 3)² = 4(y + 1)

h = 3; k = - 1; 4p = 4; p = 1

V(3, - 1)

F(3, 0)

Directriz; y = - 2

x² -  6x + 9 = 4y + 4

x² - 6x + 9 - 4 = 4y

y = (x² - 6x + 5)/4 = x²/4 – 3x/2 + 5/4