La Circunferencia
Ec. Ordinaria
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(x – h)2 + (y – k)2 = r2
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Parámetros;
h: abscisa del centro de
la circunferencia
k: ordenada del centro de
la circunferencia
r; radio de la
circunferencia
Ec. General
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Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx +
Ey + F = 0
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La ecuación general de la
circunferencia se caracteriza por que el término Bxy no aparece, ya que B = 0, y los valores de A
y C deben ser iguales.
Ej: Obtener la ecuación
de la circunferencia de radio, r = 5, y con centro en P(11,6), en forma ordinaria y en forma general.
Forma Ordinaria:
(x – h)2 + (y
– k)2 = r2
Sustituyendo los valores
del centro y del radio obtenemos;
(x – 11)2 + (y
– 6)2 = 52
Desarrollando la ecuación
para obtenerla en forma general:
x2 – 22x + 121
+ y2 – 12y + 36 = 25
x2 + y2
– 22x – 12y + 121 + 36 = 25
x2 + y2
– 22x – 12y + 121 + 36 – 25 = 0
x2 + y2
– 22x – 12y + 121 + 36 – 25 = 0
x2 + y2 – 22x – 12y + 132
= 0
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Donde podemos determinar
que los parámetros son:
A = 1; C = 1; D = -22; E
= - 12; F = 132
Ej Obtener la ecuación
ordinaria de la circunferencia x2 + y2 – 22x – 12y + 132
= 0
Para poder determinar el
centro y el radio de la misma.
x2 + y2
– 22x – 12y + 132 = 0
Reagrupando términos para
poder completar los trinomios cuadrados:
x2 -22x +
______+ y2 – 12y + _____ + 132 = 0
En este caso como los
coeficientes de x2 & de y2 son 1, basta completar los
trinomios cuadrados perfectos, llenando los espacios vacíos de la siguiente
manera:
Completando el trinomio
de la variable “x”
-22/2 = -11
(-11)2 = 121
x2 -22x + 121
+ y2 – 12y + _____ + 132 = 0 + 121
El trinomio involucrado
con las “x” se puede escribir como un binomio al cuadrado;
(x -11)2 + y2
– 12y + _____+ 132 = 0 + 121
Completando el trinomio
de la variable “y”
-12/2 = -6
(-6)2 = 36
(x -11)2 + y2
– 12y + 36 + 132 = 0 + 121 + 36
(x -11)2 + (y2
– 12y + 36) + 132 = 0 + 121 + 36
(x -11)2 + (y
– 6)2 + 132 = 0 + 121 + 36
(x -11)2 + (y
– 6)2 = 0 + 121 +36 – 132
Para finalmente obtener
la ecuación de la forma ordinaria:
(x - 11)2 + (y – 6)2 = 25
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Que puede escribirse como:
(x -11)2 + (y
– 6)2 = 52 ; h = 11, k = 6, r = 5
Con lo que descubrimos
que el centro se encuentra en P(11,6) y con radio; r = 5
Ej: Encontrar la ecuación
de la circunferencia que pasa por los puntos:
A(8,10), B(7,9) &
C(14,2)
Utilizando la forma
ordinaria y sustituyendo en ella los valores de las coordenadas de cada punto,
obtendremos las siguientes tres ecuaciones:
(x – h)2 + (y
– k)2 = r2
I (8 – h)2 + (10 – k)2 =
r2
II (7 – h)2 + (9 – k)2 =
r2
III (14 – h)2 + (2 – k)2 =
r2
Desarrollando cada
ecuación:
I
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(8 – h)2 +
(10 – k)2 = r2
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64 – 16h + h2 + 100 – 20k + k2
= r2
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II
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(7 – h)2 +
(9 – k)2 = r2
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49 – 14h + h2 + 81 – 18k + k2
= r2
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III
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(14 – h)2 +
(2 – k)2 = r2
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196 – 28h + h2 + 4 – 4k + k2
= r2
|
Reagrupando términos de cada
ecuación;
I
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64 – 16h + h2 + 100 – 20k + k2
= r2
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164 – 16h – 20k + h2 + k2
= r2
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II
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49 – 14h + h2 + 81 – 18k + k2
= r2
|
130 – 14h – 18k + h2 + k2
= r2
|
III
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196 – 28h + h2 + 4 – 4k + k2
= r2
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200 – 28h – 4k + h2 + k2 =
r2
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Reagrupando para resolver
las ecuaciones simultáneas obtenidas por el método de Suma y Resta:
I
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164 – 16h – 20k + h2 + k2
= r2
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II
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130 – 14h – 18k + h2 + k2
= r2
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III
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200 – 28h – 4k + h2 + k2 =
r2
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Realizando III – II para
obtener la ecuación IV (todos los términos que aparecen al cuadrado desaparecen
al realizar la resta). Recuerda que no escribo el signo, lo hago mentalmente.
III
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200 – 28h – 4k + h2 + k2 =
r2
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II
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130 - 14h – 18k + h2 + k2
= r2
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IV
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70 – 14h + 14k = 0
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Realizando I – II para
obtener la ecuación IV (todos los términos que aparecen al cuadrado desaparecen
al realizar la resta).
I
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164 – 16h – 20k + h2 + k2
= r2
|
II
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130 – 14h – 18k + h2 + k2
= r2
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V
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34 – 2h – 2k = 0
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Tomando ahora las
ecuaciones simultáneas IV y V para resolverlas con el método de suma y resta. .
Multiplicamos por 7 la ecuación V para eliminar el término “h” y restando;
IV
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70 – 14h + 14k = 0
|
70 – 14h + 14k = 0
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V
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34 – 2h – 2k = 0
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238 – 14h – 14k = 0
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-168 + 0h + 28k = 0
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La ecuación – 168 + 28k =
0 nos permite obtener el valor del término k
Despejando; k = 168/28 = 6
Ahora podemos encontrar
el valor del “h” Recuerda que el valor de k es conocido.
70 – 14h + 14(k) = 0
h = (- 70 – 14(6))/(-14)
h = (- 70 – 14(6))/(-14)
= 154/14= 11
Podemos ahora escribir
parte de la ecuación ordinaria;
(x – 11)2 + (y
– 6)2 = r2
Para completar la
ecuación basta con obtener el radio, (la distancia del centro a cualquiera de
los puntos conocidos) por ej. Del centro al punto A(8,10)
Radio = Raíz ( (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2 )
Raíz ( (11
– 8)2 + (6 – 10)2) = Raíz( 32 + (-4)2)
= Raíz(9 + 16) = Raíz(25) = 5
Por lo que la ecuación
completa de la forma ordinaria se presenta como;
(x – 11)2 + (y
– 6)2 = 25
