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Ecuación
general
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Vértice
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Coeficientes
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Lado recto
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p
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Foco
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Direc-triz
|
Raíces
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Ecuación
ordinaria
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y =
Ax2
+ Bx + C
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V(h,k)
|
A
|
B
|
C
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4p
|
p
|
F(x,y)
|
d =
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
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x2
+ 10x + 21
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Ejercicios de
parábolas
Resuelve el
siguiente problema y llena la siguiente tabla:
Del ejemplo:
y = x2
+ 10x + 21
Encontrando el Vértice
por medio de las fórmulas, habrá que determinar los coeficientes:
A = 1; B = 10; C = 21
Vx = h = - B/(2A) = - 10/2 = - 5
Vy = k = C – B2/(4A) = 21 – 100/4 =
21 – 25 = - 4
Otra forma de encontrar Vy = k es sustituyendo en la ecuación original el
valor de Vx = h = -5
y(-5) = (-5)2 + 10(-5) + 21 = 25 – 50 + 21 = 46 – 50 = - 4
Coincidiendo con el valor obtenido por el método anterior.
Tomando la misma
ecuación y obteniendo las raíces por factores encontramos que:
necesitamos dos
números que multiplicados den 21 y sumados den 10.
y = x2
+ 10x + 21
(x
+ 7); x + 7 = 0 & x = - 7
(x
+ 3); x + 3 = 0 & x = - 3
Entonces las raíces
así localizadas son R1 = - 7 y R2 = - 3
Tomando la
misma ecuación y resolviendo al completar el trinomio cuadrado perfecto:
Recuerda que (a
+ b)2 = a2 + 2ab + b2
y = x2
+ 10x + 21
Por
comparación, siendo 2ab = 10x
Sabiendo que a
= x
2xb = 10x la
variable “x” puede eliminarse de la ecuación ya que se encuentra en ambos lados
de la misma.
b = 10/2 = 5
b2 =
25
La ecuación
original y = x2 + 10x + 21 deberá modificarse a y + 4 = x2
+ 10x + 21 + 4
Quedando
entonces:
y + 4 = x2
+ 10x + 21 + 4
Reacomodando la
ecuación y sumando los términos independientes obtenemos:
x2 +
10x + 25 = y + 4
Factorizando
queda:
(x + 5)2
= y + 4
Comparando con
la ecuación ordinaria tenemos que:
(x – h)2
= 4p(y – k)
Tomando cada
elemento de acuerdo a la ubicación que tienen podemos descubrir que
h = - 5; k = -
4 & 4p = 1, de tal forma que p = ¼
Como podrás
observar los valores de h & k coinciden con las coordenadas del vértice
calculadas al principio.
La parábola se
abre para arriba, de tal forma que el Foco se encuentra a p unidades arriba del
vértice y por el contrario, la directriz se localiza p unidades por debajo del
mismo. Es por ello que las coordenadas del foco son: F(-5, -3.75) y la
directriz tiene la ecuación y = - 4.25
|
Ecuación
general
|
Vértice
|
Coeficientes
|
Lado recto
|
p
|
Foco
|
Directriz
|
Raíces
|
Ecuación
ordinaria
|
|
y =
Ax2
+ Bx + C
|
V(h,k)
|
A
|
B
|
C
|
4p
|
p
|
F(x,y)
|
d =
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
|
|
x2
+ 10x + 21
|
V(-5,-4)
|
1
|
10
|
21
|
1
|
¼
|
F(-5,-3.75)
|
y = - 4.25
|
-7
|
-3
|
(x + 5)2
= y + 4
|
Ahora haremos
el procedimiento contrario:
|
Ecuación
general
|
Vértice
|
Coeficientes
|
Lado recto
|
p
|
Foco
|
Directriz
|
Raíces
|
Ecuación
ordinaria
|
|
y =
Ax2
+ Bx + C
|
V(h,k)
|
A
|
B
|
C
|
4p
|
p
|
F(x,y)
|
d =
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 5)2
= y + 4
|
Partiremos de
la ecuación ordinaria para obtener todos los parámetros de la parábola y
obtener además la forma general de la misma:
(x + 5)2
= y + 4
(x – h)2
= 4p(y – k)
Encontramos que
los valores de los principales parámetros al compararla con la ecuación
ordinaria son:
h = - 5; k = -
4; 4p = 1 & p = ¼
Desarrollamos
la ecuación ordinaria:
(x + 5)2
= y + 4
x2 +
10x + 25 = y + 4
y + 4 = x2
+ 10x + 25
el término
independiente que se encuentra con la y pasa al otro lado
y = x2
+ 10x + 25 – 4
y = x2
+ 10x + 21
Como podrás
observar, de esta ecuación general podrán obtenerse las raíces y la ordenada al
origen.
Gráfica de la
función:
|
Conclusión:
Puedes verificar que algunos pasos son
redundantes, y podrás omitirlos conforme vayas practicando.
|
Verifica la
localización de los puntos importantes en la gráfica para comprobar las
respuestas obtenidas.
Otro ejercicio:
|
Ecuación
general
|
Vértice
|
Coeficientes
|
Lado recto
|
p
|
Foco
|
Direc-triz
|
Raíces
|
Ecuación
ordinaria
|
|
y =
Ax2
+ Bx + C
|
V(h,k)
|
A
|
B
|
C
|
4p
|
p
|
F(x,y)
|
d =
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
|
|
x2
– 10x + 24
|
|
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|
|
|
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|
|
Del ejemplo:
x2 –
10x + 24
A = 1; B = - 10
& C = 24
Encontrando el
Vértice por medio de las fórmulas, habrá que determinar los coeficientes:
Vx = h = - B/(2A) = - 10/2 = 5
Vy = k = C – B2/(4A) = 24 – 100/4 =
24 – 25 = - 1
Otra forma de encontrar Vy = k es sustituyendo en la ecuación original el
valor de Vx = h = 5
y(5) = (5)2 - 10(5) + 24 = 25 - 50 + 24 = 49 – 50 = - 1
Coincidiendo con el valor obtenido por el método anterior.
Para obtener
ahora las raíces, Necesitamos dos números que multiplicados den 24 y
sumados den – 10. Estos son – 6 y – 4.
y = x2
- 10x + 24
(x
- 6); x - 6 = 0 è x = 6
(x
- 4); x – 4 = 0 è x = 4
Entonces las
raíces así localizadas son R1 = 4 y R2 = 6
Ahora completaremos
el trinomio cuadrado perfecto:
y = x2
- 10x + 24
Tomando la
mitad de – 10x, tenemos – 10x/2x = - 5; entonces el término b = - 5 & b2
= 25
Como el término
independiente es 24 y necesitamos que sea 25, sólo falta una unidad para
completar el
trinomio cuadrado perfecto, unidad que habrá que agregar a la
variable “y” para conservar la igualdad.
x2 -
10x + 24 + 1 = y + 1
x2 -
10x + 25 = y + 1
Tomando ahora
el binomio correspondiente:
x2 -
10x + 25 = y + 1
La raíz
cuadrada de x^2 es x, la raíz de 25 es 5, y el doble producto, para obtener el término de en medio de – 10x
obtenemos que:
(x - 5)2 = y + 1
Tomando ahora
la ecuación ordinaria para una parábola que tiene los brazos abiertos hacia
arriba:
(x - h)2 = 4p(y – k)
Por la ubicación
de cada variable podemos deducir que:
h = 5, k = - 1,
4p = 1 & p = ¼
Llenaremos la
tabla con los parámetros solicitados:
|
Ecuación
general
|
Vértice
|
Coeficientes
|
Lado recto
|
p
|
Foco
|
Direc-triz
|
Raíces
|
Ecuación
ordinaria
|
|
y =
Ax2
+ Bx + C
|
V(h,k)
|
A
|
B
|
C
|
4p
|
p
|
F(x,y)
|
L
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
|
|
x2
- 10x + 24
|
V(5,-1)
|
1
|
-10
|
24
|
1
|
¼
|
F(5,-3/4)
|
y = -1.25
|
4
|
6
|
(x – 5)2
= (y + 1)
|
Mostramos ahora
la gráfica para que localices los puntos mencionados en la tabla de resultados:
Caso inverso:
(x + 5)2
= 8(y + 4)
Desarrollando
para obtener la ecuación general:
x2 +
10x + 25 = 8y + 32
Comenzando el
despeje de y
x2 +
10x + 25 – 32 = 8y + 32 – 32
x2 +
10x – 7 = 8y
8y = x2
+ 10x – 7
y = (x2
+ 10x – 7)/8
A = 1/8; B =
5/4 C = -7/8
Usando la
ecuación general para resolver ecuaciones de 2º grado tenemos las siguientes
raíces.
____ .
x1,2
= (- (5/4) ± √(25/16) – 4 (1/8)(-7/8))/(2/8)
R1 =
-10.6568542
R2
= 0.65685425
Se da la
ecuación ordinaria y ahora habrá que llenar la tabla de resultados:
|
Ecuación
general
|
Vértice
|
Coeficientes
|
Lado recto
|
p
|
Foco
|
Directriz
|
Raíces
|
Ecuación
ordinaria
|
|
y =
Ax2
+ Bx + C
|
V(h,k)
|
A
|
B
|
C
|
4p
|
p
|
F(x,y)
|
L =
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
|
|
y =
(x2 + 10x – 7)/8 =
x2/8 + 5x/4 – 7/8
|
V(-5,-4)
|
1/8
|
5/4
|
-7/8
|
8
|
2
|
F(-5,-2)
|
y = - 6
|
-10.65
|
0.6568
|
(x + 5)2 = 8(y + 4)
|
Otro caso más:
|
Ecuación
general
|
Vértice
|
Coeficientes
|
Lado recto
|
p
|
Foco
|
Direc-triz
|
Raíces
|
Ecuación
ordinaria
|
|
y =
Ax2
+ Bx + C
|
V(h,k)
|
A
|
B
|
C
|
4p
|
p
|
F(x,y)
|
d =
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x – 3)2
= (y + 2)/8
|
Analizando la ecuación y comparándola con (x – h)2 = 4p(y – k)
(x – 3)2
= (y + 2)/8
Comparando con
la forma ordinaria tenemos:
h = 3; k = - 2;
4p = 1/8 & p = 1/32 è el
vértice tiene coordenadas: V(3,-2)
El foco se
encuentra 1/32 por arriba del vértice, por lo que sus coordenadas son F(3, -1
31/32)
y la directriz
1/32 por debajo del vértice, por tanto tiene la ecuación y = -2 1/32
Desarrollando
la ecuación:
(x – 3)2
= (y + 2)/8
x2 –
6x + 9 = (y + 2)/8
Despejando “y”
paso a paso:
8(x2
- 6x
+ 9) = y + 2
8x2
– 48x + 72 = y + 2
y = 8x2
– 48x + 70
Identificando
los parámetros A, B & C para encontrar las raíces de la ecuación:
A = 8; B = - 48
& C = 70
-
X1,2 =
(-(-48) ± √(48)2 –
4(8)(70)))/(2(8))
R1 =
2.5
R2 =
3.5
Llenamos ahora
la tabla de respuestas:
|
Ecuación
general
|
Vértice
|
Coeficientes
|
Lado recto
|
p
|
Foco
|
Direc-triz
|
Raíces
|
Ecuación
ordinaria
|
|
y =
Ax2
+ Bx + C
|
V(h,k)
|
A
|
B
|
C
|
4p
|
p
|
F(x,y)
|
d =
|
R1
|
R2
|
(x – h)2
= 4p(y – k)
|
|
y = 8x2
– 48x + 70
|
V(3,-2)
|
8
|
- 48
|
70
|
1/8
|
1/32
|
F(3,-1 31/32)
|
y = -2 1/32
|
2.5
|
3.5
|
(x – 3)2
= (y + 2)/8
|
