Parábola II

Parábola II

La forma ordinaria de la parábola:

I   La parábola se abre hacia arriba: (x – h)² = 4p(y – k)

II  La parábola se abre hacia la derecha: (y – k)² = 4p(x – h)

III La parábola se abre hacia abajo; (x – h)² = - 4p(y – k)

IV La parábola se abre hacia la izquierda (y – k)² = - 4p(x – h)

Descripción de los parámetros:

Coordenadas del vértice;  V(h,k)

Distancia focal = p

Lado recto = 4p

Ejemplo:

La ecuación y = x² + 4x + 3 representa la parábola de la gráfica.

Obtener los parámetros siguientes:

Ordenada al origen, Raíces de la ecuación, Vértice, Foco, Lado recto y Directriz

De la ecuación original los términos A, B  y C son:

A = 1; B = 4 y el término independiente es C = 3

Las raíces pueden obtenerse así:

x² + 4x + 3

(x         + 3) è x = -3

(x         + 1) è x = - 1

El vértice:

V(- B/(2A), C – B2/(4A))

V( - 4/(2(1)), 3 – 4²/(4(1)))

V(-2, -1)

Para realizar parte de nuestro propósito es conveniente transformar la forma de la ecuación y = x² + 4x + 3 a la forma I

Completando el trinomio cuadrado perfecto:

     x² + 4x + 3 = y

La mitad del término de en medio (4x) es 2x

El cuadrado del 2 es 2² = 4

Transformando la ecuación a la forma I:

x² + 4x + 3 + 1 = y + 1

x² + 4x + 4 = y + 1

(x  + 2)² = y + 1

Para completar la igualación con la Forma I

(x  + 2)² = 4p(y + 1) è V(h,k) = V(- 2, - 1)

Como 4p = 1 &  p = ¼

Ordenada al origen                OO(0,3)

Raíces de la ecuación             R₁(-3,0) & R₂(-1,0)

Vértice                                               V(-2,-1) que en este caso coincide con el mínimo.

Foco                                       F(-2, - 3/4)

Lado recto                              4p = 1

Directriz                                 y = - 1 1/4

Ejemplo 2:

Caso inverso.

Dada la ecuación;

(x - 3)² = 4(y + 1)

h = 3; k = - 1; 4p = 4; p = 1

V(3, - 1)

F(3, 0)

Directriz; y = - 2

x² -  6x + 9 = 4y + 4

x² - 6x + 9 - 4 = 4y

y = (x² - 6x + 5)/4 = x²/4 – 3x/2 + 5/4

Parábola

La Parábola

Forma general de la ecuación:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Análisis de la ecuación por casos:

Caso I: B = 0 & C = 0: 

Ax² + Dx + Ey + F = 0 La parábola abre sus brazos para arriba o para abajo.

Caso II: A = 0 & C = 0: 

By² + Dx + Ey + F = 0 La parábola abre sus brazos a la izquierda o a la derecha.

Analizaremos por ahora sólo el caso I con varios ejemplos:

1)      (x + 3)(x + 5) = x² + (3 + 5)x + (3)(5) = x² + 8x + 15

2)      (x + 3)(x - 5) = x² + (3 - 5)x + (3)(- 5) = x² – 2x - 15

3)      (x - 3)(x + 5) = x² + (- 3+ 5)x + (- 3)(5) = x² + 2x - 15

4)      (x - 3)(x - 5) = x² + (- 3 - 5)x + (- 3)(- 5) = x² – 8x + 15

Ejemplo 1:

1)      x² + 8x + 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = 8: C = 15

Ordenada al origen:

            C = 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- 8 ± √(8² – 4(1)(15)))/(2(1))

x_1,2 = (- 8 ± √(64 – 60))/(2)

x_1,2 = (- 8 ± √(4))/(2)

x_1,2 = (- 8 ± 2)/(2)

x₁ = (- 10)/(2)  = - 5

x₂ = (- 60)/(2)  = - 3

Las raíces de esta ecuación son: -3 & - 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - 8/(2) = - 4

Vy = 15 – 64/(4) = - 1

Veamos ahora la gráfica de la función:

Ejemplo 2:

2)      x² - 2x - 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = - 2: C = - 15

Ordenada al origen:

            C = - 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- (-2) ± √((-2)² – 4(1)(- 15)))/(2(1))

x_1,2 = (2 ± √(4 + 60))/(2)

x_1,2 = (2 ± √(64))/(2)

x_1,2 = (2 ± 8)/(2)

x₁ = (- 6)/(2)  = - 3

x₂ = (10)/(2)  = 5

Las raíces de esta ecuación son: - 3 & 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - (- 2)/(2) = 1

Vy = - 15 – (4/4) = - 16

Veamos ahora la gráfica de la función:

 Ejemplo 3:

3)      x² + 2x - 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = 2: C = - 15

Ordenada al origen:

            C = - 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- (2) ± √((2)² – 4(1)(- 15)))/(2(1))

x_1,2 = (- 2 ± √(4 + 60))/(2)

x_1,2 = (- 2 ± √(64))/(2)

x_1,2 = (- 2 ± 8)/(2)

x₁ = (- 10)/(2)  = - 5

x₂ = (6)/(2)  = 3

Las raíces de esta ecuación son:  3 & - 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - (2)/(2) = - 1

Vy = - 15 – (4/4) = - 16

Veamos ahora la gráfica de la función:

 Ejemplo 4:

4)      x² - 8x + 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = - 2: C = 15

Ordenada al origen:

            C = 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- (-8) ± √((-8)² – 4(1)(15)))/(2(1))

x_1,2 = (8 ± √(64 - 60))/(2)

x_1,2 = (8 ± √(4))/(2)

x_1,2 = (8 ± 2)/(2)

x₁ = (10)/(2)  =  5

x₂ = (6)/(2)  = 3

Las raíces de esta ecuación son:  3 & 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - (- 8)/(2) = 4

Vy = 15 – (64/4) = - 1

Veamos ahora la gráfica de la función: