Parábola

La Parábola

Forma general de la ecuación:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Análisis de la ecuación por casos:

Caso I: B = 0 & C = 0: 

Ax² + Dx + Ey + F = 0 La parábola abre sus brazos para arriba o para abajo.

Caso II: A = 0 & C = 0: 

By² + Dx + Ey + F = 0 La parábola abre sus brazos a la izquierda o a la derecha.

Analizaremos por ahora sólo el caso I con varios ejemplos:

1)      (x + 3)(x + 5) = x² + (3 + 5)x + (3)(5) = x² + 8x + 15

2)      (x + 3)(x - 5) = x² + (3 - 5)x + (3)(- 5) = x² – 2x - 15

3)      (x - 3)(x + 5) = x² + (- 3+ 5)x + (- 3)(5) = x² + 2x - 15

4)      (x - 3)(x - 5) = x² + (- 3 - 5)x + (- 3)(- 5) = x² – 8x + 15

Ejemplo 1:

1)      x² + 8x + 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = 8: C = 15

Ordenada al origen:

            C = 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- 8 ± √(8² – 4(1)(15)))/(2(1))

x_1,2 = (- 8 ± √(64 – 60))/(2)

x_1,2 = (- 8 ± √(4))/(2)

x_1,2 = (- 8 ± 2)/(2)

x₁ = (- 10)/(2)  = - 5

x₂ = (- 60)/(2)  = - 3

Las raíces de esta ecuación son: -3 & - 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - 8/(2) = - 4

Vy = 15 – 64/(4) = - 1

Veamos ahora la gráfica de la función:

Ejemplo 2:

2)      x² - 2x - 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = - 2: C = - 15

Ordenada al origen:

            C = - 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- (-2) ± √((-2)² – 4(1)(- 15)))/(2(1))

x_1,2 = (2 ± √(4 + 60))/(2)

x_1,2 = (2 ± √(64))/(2)

x_1,2 = (2 ± 8)/(2)

x₁ = (- 6)/(2)  = - 3

x₂ = (10)/(2)  = 5

Las raíces de esta ecuación son: - 3 & 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - (- 2)/(2) = 1

Vy = - 15 – (4/4) = - 16

Veamos ahora la gráfica de la función:

 Ejemplo 3:

3)      x² + 2x - 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = 2: C = - 15

Ordenada al origen:

            C = - 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- (2) ± √((2)² – 4(1)(- 15)))/(2(1))

x_1,2 = (- 2 ± √(4 + 60))/(2)

x_1,2 = (- 2 ± √(64))/(2)

x_1,2 = (- 2 ± 8)/(2)

x₁ = (- 10)/(2)  = - 5

x₂ = (6)/(2)  = 3

Las raíces de esta ecuación son:  3 & - 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - (2)/(2) = - 1

Vy = - 15 – (4/4) = - 16

Veamos ahora la gráfica de la función:

 Ejemplo 4:

4)      x² - 8x + 15

Coeficientes de la ecuación:

A = 1: B = - 2: C = 15

Ordenada al origen:

            C = 15

Solución de la ecuación por medio de la fórmula general:

x_1,2 = (- B ± √(B² – 4AC))/(2A)

Sustituyendo:

x_1,2 = (- (-8) ± √((-8)² – 4(1)(15)))/(2(1))

x_1,2 = (8 ± √(64 - 60))/(2)

x_1,2 = (8 ± √(4))/(2)

x_1,2 = (8 ± 2)/(2)

x₁ = (10)/(2)  =  5

x₂ = (6)/(2)  = 3

Las raíces de esta ecuación son:  3 & 5

Vértice:

Para localizar el vértice podemos utilizar las fórmulas:

Vx = - B/(2A)

Vy = C – B²/(4A)

Sustituyendo:

Vx = - (- 8)/(2) = 4

Vy = 15 – (64/4) = - 1

Veamos ahora la gráfica de la función: