La Circunferencia

La Circunferencia

Ec. Ordinaria

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Parámetros;

h: abscisa del centro de la circunferencia

k: ordenada del centro de la circunferencia

r; radio de la circunferencia

Ec. General

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

La ecuación general de la circunferencia se caracteriza por que el término Bxy  no aparece, ya que B = 0, y los valores de A y C deben ser iguales.

Ej: Obtener la ecuación de la circunferencia de radio, r = 5, y con centro en  P(11,6), en forma ordinaria y en forma general.

Forma Ordinaria:

(x – h)² + (y – k)² = r²

Sustituyendo los valores del centro y del radio obtenemos;

(x – 11)² + (y – 6)² = 5²

Desarrollando la ecuación para obtenerla en forma general:

x² – 22x + 121 + y² – 12y + 36 = 25

x² + y² – 22x – 12y + 121 + 36 = 25

x² + y² – 22x – 12y + 121 + 36 – 25 = 0

x² + y² – 22x – 12y + 121 + 36 – 25 = 0

x2 + y2 – 22x – 12y + 132 = 0

Donde podemos determinar que los parámetros son:

A = 1; C = 1; D = -22; E = - 12; F = 132

Ej Obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia x² + y² – 22x – 12y + 132 = 0

Para poder determinar el centro y el radio de la misma.

x² + y² – 22x – 12y + 132 = 0

Reagrupando términos para poder completar los trinomios cuadrados:

x² -22x + ______+ y² – 12y + _____ + 132 = 0

En este caso como los coeficientes de x² & de y² son 1, basta completar los trinomios cuadrados perfectos, llenando los espacios vacíos de la siguiente manera:

Completando el trinomio de la variable “x”

-22/2 = -11

(-11)² = 121

x² -22x + 121 + y² – 12y + _____ + 132 = 0 + 121

El trinomio involucrado con las “x” se puede escribir como un binomio al cuadrado;

(x -11)² + y² – 12y + _____+ 132 = 0 + 121

Completando el trinomio de la variable “y”

-12/2 = -6

(-6)² = 36

(x -11)² + y² – 12y +  36 + 132 = 0 + 121 + 36

(x -11)² + (y² – 12y +  36) + 132 = 0 + 121 + 36

(x -11)² + (y – 6)² + 132 = 0 + 121 + 36

(x -11)² + (y – 6)²  = 0 + 121 +36 – 132

Para finalmente obtener la ecuación de la forma ordinaria:

(x - 11)2 + (y – 6)2  = 25

Que puede escribirse como:

(x -11)² + (y – 6)²  = 5² ;  h = 11, k = 6, r = 5   

Con lo que descubrimos que el centro se encuentra en P(11,6) y con radio; r = 5

Ej: Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

A(8,10), B(7,9) & C(14,2)

 

Utilizando la forma ordinaria y sustituyendo en ella los valores de las coordenadas de cada punto, obtendremos las siguientes tres ecuaciones:

(x – h)² + (y – k)² = r²

I   (8 – h)² + (10 – k)² = r²

II   (7 – h)² + (9 – k)² = r²

III   (14 – h)² + (2 – k)² = r²

Desarrollando cada ecuación:

I	(8 – h)2 + (10 – k)2 = r2	64 – 16h + h2 + 100 – 20k + k2 = r2
II	(7 – h)2 + (9 – k)2 = r2	49 – 14h + h2 + 81 – 18k + k2 = r2
III	(14 – h)2 + (2 – k)2 = r2	196 – 28h + h2 + 4 – 4k + k2 = r2

Reagrupando términos de cada ecuación;

I	64 – 16h + h2 + 100 – 20k + k2 = r2	164 – 16h – 20k + h2 + k2 = r2
II	49 – 14h + h2 + 81 – 18k + k2 = r2	130 – 14h – 18k + h2 + k2 = r2
III	196 – 28h + h2 + 4 – 4k + k2 = r2	200 – 28h – 4k + h2 + k2 = r2

Reagrupando para resolver las ecuaciones simultáneas obtenidas por el método de Suma y Resta:

I	164 – 16h – 20k + h2 + k2 = r2
II	130 – 14h – 18k + h2 + k2 = r2
III	200 – 28h – 4k + h2 + k2 = r2

Realizando III – II para obtener la ecuación IV (todos los términos que aparecen al cuadrado desaparecen al realizar la resta). Recuerda que no escribo el signo, lo hago mentalmente.

III	200 – 28h – 4k + h2 + k2 = r2
II	130 - 14h – 18k + h2 + k2 = r2
IV	70 – 14h + 14k = 0

Realizando I – II para obtener la ecuación IV (todos los términos que aparecen al cuadrado desaparecen al realizar la resta).

I	164 – 16h – 20k + h2 + k2 = r2
II	130 – 14h – 18k + h2 + k2 = r2
V	34 – 2h – 2k = 0

Tomando ahora las ecuaciones simultáneas IV y V para resolverlas con el método de suma y resta. . Multiplicamos por 7 la ecuación V para eliminar el término “h” y restando;

IV	70 – 14h + 14k = 0	70 – 14h + 14k = 0
V	34 – 2h – 2k = 0	238 – 14h – 14k = 0
		-168 + 0h + 28k = 0

La ecuación – 168 + 28k = 0 nos permite obtener el valor del término k

Despejando; k = 168/28 = 6

Ahora podemos encontrar el valor del “h” Recuerda que el valor de k es conocido.

70 – 14h + 14(k) = 0

h = (- 70 – 14(6))/(-14)

h = (- 70 – 14(6))/(-14) = 154/14= 11

Podemos ahora escribir parte de la ecuación ordinaria;

(x – 11)² + (y – 6)² = r²

Para completar la ecuación basta con obtener el radio, (la distancia del centro a cualquiera de los puntos conocidos) por ej. Del centro al punto A(8,10)

Radio =  Raíz ( (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² )

Raíz ( (11 – 8)² + (6 – 10)²) = Raíz( 3² + (-4)²) = Raíz(9 + 16) = Raíz(25) = 5

Por lo que la ecuación completa de la forma ordinaria se presenta como;

(x – 11)² + (y – 6)² = 25