Ejercicios con Parábolas

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Direc-triz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	d =	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
x2 + 10x + 21

                   Ejercicios de parábolas

                   Resuelve el siguiente problema y llena la siguiente tabla:

                   Del ejemplo:

                  y = x² + 10x + 21          

                 Encontrando el Vértice por medio de las fórmulas, habrá que determinar los coeficientes:

                 A = 1; B = 10; C = 21

                Vx = h = - B/(2A) = - 10/2 = - 5

                Vy = k = C – B²/(4A) = 21 – 100/4 = 21 – 25 = - 4

                Otra forma de encontrar Vy = k es sustituyendo en la ecuación original el valor de Vx = h = -5

                y(-5) = (-5)² + 10(-5) + 21 = 25 – 50 + 21 = 46 – 50 = - 4 

                Coincidiendo con el valor obtenido por el método anterior.

                Tomando la misma ecuación y obteniendo las raíces por factores encontramos que:

                necesitamos dos números que multiplicados den 21 y sumados den 10.

                y = x² + 10x + 21

                     (x     +      7); x + 7 = 0 & x = - 7

                     (x     +      3); x + 3 = 0 & x = - 3

                Entonces las raíces así localizadas son R₁ = - 7 y R₂ = - 3

                Tomando la misma ecuación y resolviendo al completar el trinomio cuadrado perfecto:

                Recuerda que (a + b)² = a² + 2ab + b²

                y = x² + 10x + 21

                Por comparación, siendo 2ab = 10x

                Sabiendo que a = x

                2xb = 10x la variable “x” puede eliminarse de la ecuación ya que se encuentra en ambos lados de la misma.

                b = 10/2  = 5

                b² = 25

               La ecuación original y = x² + 10x + 21 deberá modificarse a y + 4 = x² + 10x + 21 + 4

               Quedando entonces:

                y + 4 = x² + 10x + 21 + 4

                Reacomodando la ecuación y sumando los términos independientes obtenemos:

                x² + 10x + 25 = y + 4

                Factorizando queda:

                (x + 5)² = y + 4

                Comparando con la ecuación ordinaria tenemos que:

                (x – h)² = 4p(y – k)

                Tomando cada elemento de acuerdo a la ubicación que tienen podemos descubrir que

                h = - 5; k = - 4 & 4p = 1, de tal forma que p = ¼

               Como podrás observar los valores de h & k coinciden con las coordenadas del vértice calculadas al principio.

               La parábola se abre para arriba, de tal forma que el Foco se encuentra a p unidades arriba del vértice y por el            contrario, la directriz se localiza p unidades por debajo del mismo. Es por ello que las coordenadas del              foco son: F(-5, -3.75) y la directriz tiene la ecuación y = - 4.25 

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Directriz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	d =	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
x2 + 10x + 21	V(-5,-4)	1	10	21	1	¼	F(-5,-3.75)	y =        - 4.25	-7	-3	(x + 5)2 = y + 4

                Ahora haremos el procedimiento contrario:

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Directriz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	d =	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
											(x + 5)2 = y + 4

                  Partiremos de la ecuación ordinaria para obtener todos los parámetros de la parábola y obtener además la                forma general de la misma:

                  (x + 5)² = y + 4

                 (x – h)² = 4p(y – k)

                 Encontramos que los valores de los principales parámetros al compararla con la ecuación ordinaria son:

                 h = - 5; k = - 4; 4p = 1 & p = ¼

                Desarrollamos la ecuación ordinaria:

                (x + 5)² = y + 4

                 x² + 10x + 25 = y + 4

                 y + 4 = x² + 10x + 25

                 el término independiente que se encuentra con la y pasa al otro lado

                 y = x² + 10x + 25 – 4

                 y = x² + 10x + 21

                Como podrás observar, de esta ecuación general podrán obtenerse las raíces y la ordenada al origen.

                Gráfica de la función:

Conclusión: Puedes verificar que algunos pasos son redundantes, y podrás omitirlos conforme vayas practicando.

Verifica la localización de los puntos importantes en la gráfica para comprobar las respuestas obtenidas.

                 Otro ejercicio:

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Direc-triz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	d =	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
x2 – 10x + 24

Del ejemplo:

x² – 10x + 24

A = 1; B = - 10 & C = 24

Encontrando el Vértice por medio de las fórmulas, habrá que determinar los coeficientes:

Vx = h = - B/(2A) = - 10/2 =  5

Vy = k = C – B²/(4A) = 24 – 100/4 = 24 – 25 = - 1

Otra forma de encontrar Vy = k es sustituyendo en la ecuación original el valor de Vx = h = 5

y(5) = (5)² - 10(5) + 24 = 25 - 50 + 24 = 49 – 50 = - 1  

Coincidiendo con el valor obtenido por el método anterior.

Para obtener ahora las raíces, Necesitamos dos números que multiplicados den 24 y sumados      den – 10. Estos son – 6  y – 4.

y = x² - 10x + 24

      (x     -      6); x - 6 = 0 è x = 6

      (x     -      4); x – 4 = 0 è x = 4

Entonces las raíces así localizadas son R₁ = 4 y R₂ = 6

Ahora completaremos el trinomio cuadrado perfecto:

y = x² - 10x + 24

Tomando la mitad de – 10x, tenemos – 10x/2x = - 5; entonces el término b = - 5 & b² = 25

             Como el término independiente es 24 y necesitamos que sea 25, sólo falta una unidad para completar el 

            trinomio cuadrado perfecto, unidad que habrá que agregar a la variable “y” para conservar la igualdad.

x² - 10x + 24 + 1 = y + 1

x² - 10x + 25 = y + 1

Tomando ahora el binomio correspondiente:

x² - 10x + 25 = y + 1

               La raíz cuadrada de x^2 es x, la raíz de 25 es 5, y el doble producto,  para obtener el término de en medio de – 10x obtenemos que:

(x   - 5)²  = y + 1

Tomando ahora la ecuación ordinaria para una parábola que tiene los brazos abiertos hacia arriba:

(x   - h)²  = 4p(y – k)

Por la ubicación de cada variable podemos deducir que:

h = 5, k = - 1, 4p = 1 & p = ¼

Llenaremos la tabla con los parámetros solicitados:

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Direc-triz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	L	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
x2 - 10x + 24	V(5,-1)	1	-10	24	1	¼	F(5,-3/4)	y =    -1.25	4	6	(x – 5)2 = (y + 1)

Mostramos ahora la gráfica para que localices los puntos mencionados en la tabla de resultados:

Caso inverso:

(x + 5)² = 8(y + 4)

Desarrollando para obtener la ecuación general:

x² + 10x + 25 = 8y + 32

Comenzando el despeje de y

x² + 10x + 25 – 32 = 8y + 32 – 32

x² + 10x – 7 = 8y

8y = x² + 10x – 7

y = (x² + 10x – 7)/8

A = 1/8; B = 5/4 C = -7/8

Usando la ecuación general para resolver ecuaciones de 2º grado tenemos las siguientes raíces.

                     ____                             .

x_1,2 = (- (5/4) ± √(25/16) – 4 (1/8)(-7/8))/(2/8)

R₁ = -10.6568542

R₂ =  0.65685425

Se da la ecuación ordinaria y ahora habrá que llenar la tabla de resultados:

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Directriz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	L =	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
y = (x2 + 10x – 7)/8 = x2/8 + 5x/4 – 7/8	V(-5,-4)	1/8	5/4	-7/8	8	2	F(-5,-2)	y =      - 6	-10.65	0.6568	(x + 5)2 = 8(y + 4)

Otro caso más:

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Direc-triz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	d =	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
											(x – 3)2 = (y + 2)/8

Analizando la ecuación y comparándola con (x – h)² = 4p(y – k)

(x – 3)² = (y + 2)/8

Comparando con la forma ordinaria tenemos:

h = 3; k = - 2; 4p = 1/8 & p = 1/32 è el vértice tiene coordenadas: V(3,-2)

El foco se encuentra 1/32 por arriba del vértice, por lo que sus coordenadas son F(3, -1 31/32)                                                                                                 

y la directriz 1/32 por debajo del vértice, por tanto tiene la ecuación y = -2 1/32

Desarrollando la ecuación:

(x – 3)² = (y + 2)/8

x² – 6x + 9 = (y + 2)/8

Despejando “y” paso a paso:

8(x² -  6x  + 9) = y + 2

8x² – 48x + 72 = y + 2

y = 8x² – 48x + 70

Identificando los parámetros A, B & C para encontrar las raíces de la ecuación:

A = 8; B = - 48 & C = 70

                                                        -

X_1,2 = (-(-48) ±  √(48)² – 4(8)(70)))/(2(8)) 

R₁ = 2.5

R₂ = 3.5

Llenamos ahora la tabla de respuestas:

Ecuación general	Vértice	Coeficientes			Lado recto	p	Foco	Direc-triz	Raíces		Ecuación ordinaria
y = Ax2 + Bx + C	V(h,k)	A	B	C	4p	p	F(x,y)	d =	R1	R2	(x – h)2 = 4p(y – k)
y =              8x2 – 48x + 70	V(3,-2)	8	- 48	70	1/8	1/32	F(3,-1 31/32)	y = -2 1/32	2.5	3.5	(x – 3)2 = (y + 2)/8