Aplicaciones de la Recta usando de modelo un triángulo.

Matemáticas III
Múltiples ejercicios utilizando como figura principal un triángulo.

Ejercicio para resolver un triángulo cuyos vértices se encuentran en:

A(1,2); B(-6,-5) y C(3,-2)

Procura resolverlo por tu cuenta, los cálculos y gráficos se desarrollan en este archivo:

Ecuación de la recta de cada lado del triángulo:

Recta AC A(1,2) C( - 6,- 5)                   Pendiente m = (yC  -  yA)/(xC - xA) mAC = ( -5– 2)/(-6 – 1) mAC = (- 7)/( -7) = 1 Punto medio de la recta AC: Pm = (x1 + x2)/2,(y1 + y2)/2 PmAC((1 - 6)/2,(2 – 5)/2) PmAC(-2.5,-1.5) Decimal PMAC(-5/2,-3/2) Fracción Ecuación de la recta: Se usó el punto A(2,1) y – 2 = 1(x – 1) y – 2 = x – 1 y = x – 1  + 2 y = x + 1

Recta AB A(1,2) B(3, - 2) Pendiente mAB = ( - 2 – 2)/(3 – 1) mAB = - 4/2 = - 2  Punto medio de la recta AB PmAB = ((1 + 3)/2,(2 – 2)/2) PmAB(2,0) Ecuación de la recta: Se usó el punto medio y – 0 = -2(x – 2) y =  - 2x + 4

Recta BC B(3,-2) C( - 6 , - 5) Pendiente mBC = (- 5 – (-2))/(-6 – 3) mBC = -3/(-9) = 1/3 Punto medio de la recta BC PmBC = ((3 – 6)/2,(- 2 – 5)/2) PmBC (- 1.5,-3.5) Decimal PmBC(-3/2,-7/2)  Fracción Ecuación de la recta: Se usó el punto B(3,-2) y – (-2) = (1/3)(x – 3) y + 2 =  x/3 – 1 y =  x/3 – 3

Longitud de cada lado y perímetro del triángulo:                           

Lado AC A(1,2) C( - 6,- 5)        dAC = = 9.8994949366116653416	Lado AB A(1,2) B(3,-2) dAB = = 4.4721359549995793928	Lado BC B(3,- 2) C(-6, -5) DBC = = 9.48683298050513799599
Perímetro: P = Ö98 + Ö20 + Ö90 = 23.858463872116382730426849040229

                          

Área del triángulo:

(1/2)= ( - 5 + 12 + 6 + 12 + 15 + 2)/2 = (42/2) = 21 u2

Comprobación del Área:

Tomando como base BC y altura longitud de la recta que pasa por el punto A(1,2)

A =  (Ö90)(14/(Ö10)/2 =

Los cálculos de las longitudes de las alturas se resuelven posteriormente, la demostración se encuentra aquí por cuestiones de espacio.

Cálculo de las Alturas:

Ecuaciones de las alturas:

Altura de AB La altura parte del vértice C(-6,-5) y llega perpendicularmente al lado AB m = - 1/mAB m = ½ y – (-5) = ( ½)(x – ( - 6)) y + 5 = x/2 + 3 y = x/2 - 2

Altura de AC La altura parte del vértice B(3,-2) y llega perpendicularmente al lado AC m = -1/mAC m = - 1 y – ( - 2) = -1(x – 3) y + 2 =  - x + 3 y = - x + 1

Altura de BC La altura parte del vértice A(1,2) y llega perpendicularmente al lado BC m = -1/mBC m = - 3 y – 2 = - 3(x – 1) y – 2 = - 3x + 3 y = - 3x + 5

El ortocentro (punto donde hacen intersección las alturas) se encuentra en:

Tomando dos de las ecuaciones (las más sencillas) de las alturas, p.e. Alturas AC y BC, y haciéndolas simultáneas: y = - x + 1 & y = -3x + 5

Se restan:    y = - x + 1

                  - y =  3x – 5

                     0 = 2x – 4         obtenemos è 2x = 4   è x = 2

Sustituyendo x = 2 en cualquiera de las ecuaciones, p.e. y = -x + 1 è y = - (2) + 1 è y =  - 1

El punto llamado ortocentro se localiza en P(2, - 1)

Longitudes de las alturas:

Longitud de la altura AB Ax + By + C ±ÖA2 + B2 Se toman la ecuación de la recta AB y el punto C(- 6 , - 5) y = - 2x + 4 Se escribe en la forma general: 2x + y – 4 = 0 Se sustituyen en la ecuación de la longitud: 2x + 1y – 4 ±Ö22 + 12 y los valores de x & y se toman del punto C(-6 , -5) 2(-6) + 1(-5) – 4 ±Ö22 + 12 -12 – 5 – 4 ±Ö(4 + 1) = 21/Ö5 = 9.39148550549

Longitud de la altura AC Ax + By + C ±ÖA2 + B2 Se toman la ecuación de la recta AC y el punto B(3 , - 2) y = x + 1 Se escribe en la forma general: x - y + 1 = 0 Se sustituyen en la ecuación de la longitud:    x - y + 1 ±Ö12+(-1)2 y los valores de x & y se toman del punto B(3 ,-2) (3) - (-2) + 1 ±Ö(12 + (-1)2)   3 + 2 + 1 ±Ö(1 + 1) = 6/Ö2 = 4.2426406871192

Longitud de la altura BC Ax + By + C ±ÖA2 + B2 Se toman la ecuación de la recta BC y el punto A(1, 2) y =  x/3  - 3 Se escribe en la forma general: x/3 + y + 3 = 0 Se sustituyen en la ecuación de la longitud:    x/3  -  y - 3 ±Ö12+(2)2 y los valores de x & y se toman del punto A(1 ,2) (1/3)  -  (2)  -  3 ±Ö((1/3)2 + (1)2)   1/3 -  2 - 3 ±Ö(1/9 + 1) (14/3)/Ö(10/9) = = 14/(Ö10) = 4.42718872 Esta es la altura que se utiliza para calcular el área del triángulo.

Cálculo de la Mediatrices:

La mediatriz pasa por el punto medio de cualquier lado y es perpendicular a este.

Los cálculos de los siguientes parámetros  (pendiente y punto medio de cada segmento de recta) se realizaron al principio de este ejercicio.

De la recta AB mAB = - 2 como es perpendicular usaremos: m = 1/2 PmAB(2, 0) y – 0 = (1/2)(x – 2) y  = x/2 – 4

De la recta AC mAC = 1 è m = - 1 PmAC(-5/2,-3/2) y - (-3/2) = -1(x – (-5/2)) y + 3/2 = -x - 5/2 y = - x - 4

De la recta BC mBC = 1/3 è m = - 3 PmBC(-3/2,-7/2) y – (-7/2) = -3(x – (-3/2) y + 7/2 = - 3x - 9/2 y = - 3x – 8

Las rectas hacen intersección en el punto  llamado circuncentro: P(-2,-2)

Tomando la ec. De la recta AC y la recta BC (las más sencillas) è

y = - x – 4 & y = - 3x – 8

Restando: 0 = 2x + 4 è 2x = - 4 è x = - 2 y por lo tanto (sustituyendo el valor en y = - x  -  4 nos queda: y = - (-2) – 4 = y = - 2

Las medianas:

Pasan por el punto medio de un lado y por el vértice opuesto.

Mediana del vértice A(2,1) pasa por el PmBC(-3/2,-7/2) Pendiente de la mediana BC m = (-7/2 – 1)/(-3/2 -2) m = (-9/2)/(-7/2) m = 9/7 Ecuación de la mediana y – 1 = (9/7)(x – 2)

Mediana del vértice B(3-2) pasa por el PmAC(-5/2,-3/2) Pendiente de la mediana AC m = (-3/2 + 2 )/(-5/2 – 3) m = (1/2)/(-11/2) m = -1/11 Ecuación de la mediana y + 2 = ( -1/11)(x – 3) y =  -x/11 + 3/11 – 2 y = -x/11 – 19/11

Mediana del vértice C(-6,-5) pasa por el PmAB (2, 0) Pendiente de la mediana AB m = (0 – (- 5))/(2 – ( - 6)) m = 5/8 Ecuación de la mediana y – 0 = (5/8)(x – 2) y = 5x/8 – 10/8 y = 5x/8 – 5/4

Las rectas hacen intersección en un punto llamado Baricentro: P( -2/3, -5/3) es el más sencillo de calcular, ya que es el promedio de las abscisas y las ordenadas de los tres vértices.

Universidad Virtual Liverpool

Tarea en Equipo

Realiza los mismos ejercicios que tenemos en el ejemplo pero con estos tres vértices

A( - 4, 1); B( - 1, - 3  ) y C( 6 . - 2)

Triángulo:

                                     

Cálculo de la longitud de la recta AB Pendiente de AB Punto medio de AB Ecuación de la recta AB

Idem AC

Idem BC

Cálculo del perímetro del triángulo

Cálculo del área del triángulo

Alturas:

Cálculo de la ecuación de la altura que pasa por la “Base” AB Longitud de la altura desde el vértice C a la Base AB

Idem AC

Idem BC

Cálculo del ortocentro

Mediatrices:

Cálculo de la ecuación de la mediatriz que pasa por la recta AB

Idem AC

Idem BC

Cálculo del circuncentro

Medianas:

Cálculo de la mediana que pasa por el vértice A

Idem Vértice B

Idem Vértice C

Cálculo del Baricentro